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解析几何中求参数取值范围的方法



近几年来,与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中,这类问题不仅涉及知识面广,综合性大,应用性强,而且情景新颖,能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质,是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时,往往抓不住问题关键,无法有效地解答,这类问题求解的关键在于根据题意,构造相关的不等式,然后求出不等式的解。那么,如何构造不等式呢?本文介绍几种常见的方法:

  一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式

  曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.

  例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0)

  求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

  分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.

  解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1

  又∵线段AB的垂直平分线方程为

  y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )

  令y=0得 x0=x1+x22 •a2-b2a2

  又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点

  ∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a

  ∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

  例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF•FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.

  分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题.

  解: 依题意有

  ∴tanθ=2S

  ∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4

  又∵0≤θ≤π

  ∴π4 <θ< p>

  例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是 ( )

  A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p>

  分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.

  解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a

  得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0

  ∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立

  又∵ y02≥0

  而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )

  二、利用判别式构造不等式

  在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.

  例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是 ( )

  A [-12 ,12 ] B [-2,2] C [-1,1] D [-4,4]

  分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△≥0

  解:依题意知Q坐标为(-2,0) , 则直线L的方程为y = k(x+2)

  由 得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0

  ∵直线L与抛物线有公共点

  ∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选 (C)

  例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B,求实数k的取值范围.

  分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则△>0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.

  解:由 得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0

  ∵直线与双曲线的右支交于不同两点,则

  解得 -2<-2< p>

  三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式

  曲线把坐标平面分成三个区域,若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系:若P在曲线上,则f(x0,y0)=0;若P在曲线内,则f(x0,y0)<0;若P在曲线外,则f(x0,y0)>0;可见,平面内曲线与点均满足一定的关系。故可用这些关系来构造不等式解题.

  例6已知椭圆2x2 + y2 = a2 (a>0)与连结两点A(1,2)、B(2,3)的线段没有公共点,求实数a的取值范围.

  分析:结合点A,B及椭圆位置,可得当AB两点同时在椭圆内或同时在椭圆外时符合条件.

  解:依题意可知,当A、B同时在椭圆内或椭圆外时满足条件。

  当A、B同时在椭圆内,则

  解得a >17

  当A、B同时在椭圆外,则

  解得0<6< p>

  综上所述,解得0<6 或a>17

  例7若抛物线y2=4mx (m≠0)的焦点在圆(x-2m)2+(y-1)2=4的内部,求实数m的取值范围.

  分析:由于焦点(m,0)在圆内部,则把(m,0)代入可得.

  解:∵抛物线的焦点F(m,0)在圆的内部,

  ∴(m-2m)2+(0-1)2<4 即m2<3

  又∵m≠0

  ∴-3 <0或0<3< p>

  四、利用三角函数的有界性构造不等式

  曲线的参数方程与三角函数有关,因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程,后利用三角函数的有界性构造不等式求解。

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